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Mittheilungen

Naturforschenden Gesellschaft

DRITTER BAND. (Nro. 79— 118.)

Mit © Karten, 2 Tafeln Abbildungen und 2 Tabellen.

Zürich. In Commission bei S. Höhr.

1853— 1855.

Inhalt des dritten Bandes.

Siebentes Helft (Nro. 79—91).

Grapbische Bestimmung des Ausflusses der Flüssigkeiten durch rechteckige Oeflnungen,, und bei zweiseiliger Kontraktion, von Prof. Deschwanden. Fortsetzung

Der Geltengrat, das Heremence- und Bagnethal, das Einfisch- thal und der Weissthorpass, von Prof. Melchior Ulrich. Mit einer Karte

Ueber die Reduction der Complanation oder Quadratur auf die Kubirung, und der Rectification auf die Quadratur, von W. Denzler

Uebersicht der Tertiärflora der Schweiz, von Prof. O. Heer

Ueber Bildung von Jodäthyl durch Einwirkung von Jod und

Phosphor auf Essigäther, von Hs. Landolt

Eine Seitenschwingung des Foukault’schen Pendels, von Prof. Deschwanden

Verzeichniss der im Jahr 1852 für die Bibliothek der Gesell- schaft eingegangenen Geschenke und Anschaflungen

Ueber die Rhynchoten der Tertiärzeit, von Prof. O. Heer

Ueber den gegenseitigen Zusammenhang einiger Functionen,

von Prof. Raabe.

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157

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IV Achtes Heft (Nr. 92—104).

Die untere Schneegrenze während des Jahres, vom Bodensee bis zur Sentisspitze, von H. Denzler, Ingenieur. Mit einer Tabelle

Ueber eine Sinnestäuschung, psychologischen Ursprungs, von H. Denzler, Ingenieur

Graphische Bestimmung der Bewegung der Flüssigkeiten in Röhren mit rechteckigem Querschnitte, von Prof. Desch- wanden

Bewegung der mittlern Temperatur der Luftsäule Genf-St. Bern- hard im Laufe des Jahres, nach 17jährigen Beobachtun- gen, von H. Denzler, Ingenieur. Mit einer Tabelle

Die Entstehung der Wasserhosen durch Wirbelwinde, von Prof. J. W. Deschwanden

Die Ersteigung des Tödi, von Prof. M. Ulrich. Mit einer Karte

Neue Beobachtungen über die Umwandlung kalzitischer Sedi- mentschichten in Feldspalhgestein, und einige andere Ge- genstände der Entwicklungsgeschichte der Mineralien, von G. H. Otto Volger

Ueber einige Anwendungen der verallgemeinerten Stirlingischen Reihe, von Prof. Raabe

Ueber die Dispersion der Elastizitätsaxen in einigen zwei- und eingliederigen Krystallen, von Dr. J. C. Heusser

Beobachtung der Frauenhofer’schen Linien in St. Moritz, 5500 Fuss über Meer, von Dr, J. C. Heusser . |

Coquilles terrestres et fluviatiles, recueillies par M, le Prof.

Bellardi dans un voyage en Orient, von Alb. Mousson .

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Ueber einen neuen Extraktivstoflf im Lungengewebe, von Dr. A. Cloetta . > . : - er

Protokollauszüge, Juni 1852 bis Ende 1853

Verzeichniss der im Jahre 1853 für die Bibliotkek der Gesell- schaft eingegangenen Geschenke

Verzeichniss der durch Tausch gegen die Mittheilungen im Jahr 1853 erhaltenen Bücher

Uebersicht der neuen Bücheranschaffungen im Jahre 1853 für

die Bibliothek der Gesellschaft

Neuntes Heft (Nro. 105—118):

Ueber Kalke von’ Madeira, von Dr. E. Schweizer. .

Die Mineralien des Binnen- und Saasthales, von Dr. J. Chr. Heusser

Ueber das Vorkommen von Leucyn und Tyrosin in der mensch- lichen Leber, von Fr. Th, Frerichs und G. Städeler

Ueber das Vorkommen von Allantoin im Harn bei gestörter Respiration, von Fr. Tb. Frerichs und G. Städeler

Ueber die Verbindungen des Traubenzuckers mit Kochsalz, von G. Städeler

Die Ersteigung des Glärnisch, von Prof. Melchior Ulrich

Experimentelle Beiträge zur Pyaemie, von Prof. Dr. Lebert .

Die Kohlensäurespannung im Blute, von Dr. E. Becher. Mit 2 Tafeln

Ein Beitrag zur Analysis der complexen Zahlen, von W. Denzler

Ueber die in der Schweiz beobachteten Arten des Genus Li-

thocolletis. Zell., von Prof. H. Frey .

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Protokollauszuge, Januar 1854 bis Dezember 1854

Verzeichniss der im Jahre 1854 für die Bibliothek der Gesell- schaft eingegangenen Geschenke

Verzeichniss der durch Tausch gegen die Mittbeilungen im Jahr 1854 erhaltenen Bücher

Uebersicht der neuen Bücheranschaflungen im Jahr 1854 für

die Bibliothek der Gesellschaft

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MITTHEILUNGEN

NATURFORSCHENDEN GESELLSCHAFT IN ZÜRICH. oN® 29. — 1853.

Prof. Deschwanden. — Graphische Bestimmung des Ausflusses der Flüssigkeiten durch recht- eckige Oeffnungen, und bei zweiseitiger Kontraktion.

(Fortsetzung der in Nr. 70 und 71 mitgetheilten hydraul. Betrachtungen.) 4. Genauere Bestimmung der Bewegung der in den Ecken des Gefässes befindlichen Flüssigkeitstheile.

In den Nr. 2 und 3 dieses Aufsatzes wurde stels vorausgeselzt, die Bewegung der in den Ecken d und d, Fig. 2, 3 und 4 enthaltenen Flüssigkeit könne unbe- rücksichtigt gelassen werden, und die Geschwindigkeit des äussersten Flüssigkeitsfadens aslikb sei daher überall zwischen a und k gleich gross. Unter dieser Annahme erhielt man auch durch die graphische Bestimmungsweise der Bewegung der ausfliessenden Flüssigkeit Ergebnisse, welche mit den mittleren Ergebnissen der Erfahrung auf befriedigende Weise übereinstimmten. Nun ist aber be- kannt, dass jene Bewegungen, und namentlich die Aus- fluss- und Kontraktionskoeffizienten bei verschiedener ab- soluter Grösse der Ausflussöffnung, sowie. bei. verschie-

denem senkrechtem Abstande der Ausflussöffnung vom Band 111. 1

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Flüssigkeitsspiegel etwas verschieden sind. Soll die Kon- struktion auch diese Verschiedenheiten ergeben ‚. so darf man sich jene nur angenähert richtige Voraussetzung nicht mehr erlauben, sondern muss auf die Bewegung der in den Ecken d und d, befindlichen Flüssigkeit sehr sorgfältig Rücksicht nehmen.

Um bei der Bestimmung der Bewegung ausfliessen- der Flüssigkeiten diesen grösseren Anforderungen so gut als möglich zu entsprechen, muss beachtet werden, dass diejenigen in der Ecke d und d, befindlichen Flüssigkeits- theilchen, welche den äussersten Flüssigkeitsfaden aslk unmittelbar berühren, jedenfalls nahezu die gleiche Be- wegung haben, wie dieser Faden selbst, indem sie von demselben durch die Reibung der Flüssigkeitstheilchen an einander mit fortgerissen werden. Würde man die Reibung der Flüssigkeit an den Seitenwänden des Gefäs- ses berücksichtigen, so müsste wohl die Geschwindigkeit des Fadens etwas grösser als die der genannten Flüssig- keitstheilchen angenommen werden; da aber diese Rei- bung unberücksichtigt bleibt, so ist die Annahme der Gleichheit jener beiden Bewegungen zulässig. Ferner soll angenommen werden, die Bewegung der in den Ecken d und d, befindlichen Flüssigkeit richte sich genau nach denselben Gesetzen wie die Bewegung der übrigen, im Gefässe enthaltenen flüssigen Masse. Diese Annnahme kommt der Wahrheit vielleicht weniger nahe als die vo- rige, weil die Flüssigkeitsfäden der in den Ecken befind- lichen Massen nicht von einem gemeinschaftlichen Flüs- sigkeitsspiegel ausgehen, was bei Feststellung des Ge- setzes der Zerlegung einer flüssigen Masse in quadrati- sche Prismen doch vorausgesetzt wurde. Allein es wird in der folgenden Nummer dieses Aufsatzes darauf hin- gewiesen werden, warum diese, von der Wahrheit ab-

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weichende Annahme auf das Ergebniss dieser Untersu- chungen keinen, oder nur einen sehr untergeordneten Einfluss hat.

Die graphische Aufgabe welche nun zu lösen ist, besteht mithin darin: die Flüssigkeitsfäden und Normal- flächen der ganzen in einem Gefässe enthaltenen Flüssig- keitsmasse, sowohl der ausfliessenden als der zurückblei- benden, so zu verzeichnen, dass sie ein ununterbrochen zusammenhängendes Quadratnetz bilden. Die Auflösung dieser Aufgabe, sowie die Ergebnisse dieser Auflösung sollen nun mit Bezug auf den Fall näher besprochen werden, in welchem die Flüssigkeit durch eine Oeffnung ausfliesst, welche in der Mitte des Gefässbodens ange- bracht ist, und wobei mit Bezug auf Druckhöhe, Art des Zuflusses der Flüssigkeit in das Gefäss u. s. w. die gleichen Vorausselzungen wie in Nr. 2 dieses Aufsatzes gemacht werden.

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Ist add,a, Fig. 5 das Gefäss, bb, die in demselben befindliche Oeffnung , und aa, der Flüssigkeitsspiegel, so ziehe man zuerst den mittleren Flüssigkeitsfaden et, der auch hier, wie in den früber behandelten Fällen, gerad- linig ist. Der durch a gehende äusserste Flüssigkeitsfa- den fängt nun aber nicht schon in der Nähe des Punk- tes a an sich von der Wand ad zu entfernen, sondern schliesst sich vielmehr genau an dieselbe an, bis er beim äussersten Flüssigkeitsfaden fg des in der Ecke d ent- stehenden Wirbels fgd angekommen ist. In diesem Punkte f entfernt er sich von der Wand ad, aber ° nicht allmälig , sondern, wie in der folgenden Nr. nach- gewiesen werden soll, plötzlich, und zwar unter einem Winkel von 90°; geht dann in einem Bogen fg bis nach g über, wo er die Bodenwand wieder rechtwinklig trifft, und schliesst sich von da bis b wiederum genau an den Boden an, um bei b aus dem Gefässe auszutreten. Die an diesen äussersten Flüssigkeitsfaden afgd anstossenden Quadrate brauchen jetzt keineswegs, wie bei den in Nr. 2 und 3 gemachten Voraussetzungen, gleich gross zu sein, sondern können jede beliebige Grösse haben, weil auch die Gefässwände, an denen der Faden von a bis f und von g bis b anliegt , jeden beliebigen Druck auf die Flüs- sigkeit ausüben können. Nur auf dem Bogen fg sind die Quadrate an die Bedingung gebunden, gleiche Grösse mit den äussersten Quadraten des Wirbels fgd zu be- sitzen, weil der äusserste Flüssigkeitsfaden fg des Wirbels zwischen f und g überall die gleiche Geschwindigkeit be- sitzen muss, wie der an ihm anliegende äusserste Faden fg der ausfliessenden Flüssigkeit. Ausserdem müssen die zwischen b und e liegenden Quadrate aus denselben Grün- den, wie in Nr. 2 und 3, gleich gross sein. Die zwi- schen a und e durchgehenden übrigen Flüssigkeitsfäden

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seizen sich alle ununterbrochen bis zur Oeffaung hin fort und treten dort aus dem Gefässe beraus; die in dem Eckraume fgd enthaltenen Flüssigkeitsfäden treten dage- gen nicht aus diesem Raume heraus, sondern sind, da sie einem Wirbel angehören, ringförmig geschlossen.

Um unter diesen Umständen die gestellte graphische Aufgabe zu lösen, verfahre man ganz ähnlich wie bei der Ausführung der in Fig. 1 bis 4 dargestellten Quadrat- neize. Um sogleich mit dem Netze zweiter Ordnung zu beginnen nehme man daher den Punkt h Fig. 5 mitten zwischen e und a an, und führe durch denselben nach dem Augenmasse den Flüssigkeitsfaden him, ziehe als- dann die Normallinie ikn u. s. w. so, dass sie zwischen et und hm Bogenquadrate eikh u. s. w. abschneiden, und sehe nun zu, ob auch die zwischen him und adb hierdurch entstehenden Figuren ahkn u. s. w. Bogen- quadrate seien. Ist dies der Fall, so ist das Netz rich- tig; trifft es dagegen nichi ein, so müssen him, ikn u. s. w. so lange abgeändert werden, bis auch die Fi- guren hank u. s. w. Bogenquadrate sind.

Die Entscheidung, ob eine Figur wie hank ein Bo- genquadrat sei oder nicht, ist nach der früher gegebenen Anleitung dazu leicht angenähert zu geben. Dagegen ist bei den in der Ecke d liegenden Figuren, wie hier bei olmpd, einige Vorsicht nöthig. Man darf sich nämlich nicht etwa dadurch irre machen lassen, dass die Figur ein Fünfeck statt eines Viereckes ist; denn es lassen sich, wie das an gp angrenzende Stück dieser Figur selbst, sowie die Gegend um d Fig. 6 zeigen, auch solche Figuren durch Flüssigkeitsfäden und Normallinien in Quadrate zerlegen. Diese Zerlegung kann man sich fer- ner bis ins Unendliche fortgesetzt denken, wobei dann die beiden einzigen, bei f liegenden, spitzwinkligen Vier-

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eckchen, die bei jeder weiteren Zerlegung übrig bleiben, endlich gegen alle quadratische Figuren nnendlich klein werden und vernachlässigt werden können. Sobald daber eine solche Zerlegung ausgeführt werden kann, ist die Figur als ein Bogenquadrat anzusehen.

Um diese Zerlegung, nachdem einmal die Linien him, lo, mp gezogen sind, möglich zu machen, muss dem Bogen fg, der an keine weiteren Bedingungen ge- knüpft ist, eine passende Grösse gegeben werden. Kann man keine Grösse desselben finden, bei welcher die Fi- gur olmpd in Quadrate zerlegbar ist, so muss die ganze Linie him, und daher auch in, lo, mp u. s. w. verän- dert werden. Durch einige Versuche wird man auf diese Weise die angenähert richtige Gestalt der Linien blm - und fg finden.

Auf ähnliche Weise ist das Quadratnetz dritter Ord- nung, sowie die Zerlegung des Wirbels in seine Quad- rate auszuführen.

An den durch diese Operation erhaltenen Ergebnis- sen ist nun vor Allem das hervorzuheben, dass sie nicht nur auf eine, sondern auf unendlich viele Auflösungen der gestellten Aufgabe führen, indem unendlich viele richtige Quadratnetze gezeichnet werden können, welche den oben aufgestellten Bedingungen entsprechen. Es zeigt sich nämlich, dass für sehr verschiedene Gestalten der Linie him und der übrigen austretenden Flüssigkeits- fäden richtige Quadratnetze gezeichnet werden können, sobald man nur dem Wirbel fgd verschiedene Grössen ertheilt. ist him von h bis | beinahe geradlinig und wen- det sich dann über m in einem ziemlich scharf gekrümm- ten Bogen gegen die Oeffnung, so wird jener Wirbel klein; nähert sich dagegen him schon bei | ziemlich stark der Mittellinie et, so wird derselbe gross. Der Wirbel

wird bei verschiedenen Annahmen dieser Art alle Werthe annehmen, die zwischen Null, wo f und g mit d zusam- Fig. 6.:

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menfallen, und zwischen dem Werthe liegen, den er be- kömmt wenn g bis in die Nähe des Randes b der Oeff- nung gelangt. Der erste Fall wird durch Fig. 6, der zweite durch Fig. 5. dargestellt. Bis nach b selbst kann g nicht kommen, indem dann das Quadratnetz des Wirbels nicht mehr möglich wäre. Die Bewegung der Flüssig- keit im Innern des Gefässes wird der Richtung und Geschwindigkeit nach durch das Quadratnetz angegeben, woraus man sieht, dass die Geschwindigkeit um so klei- ner wird, je mehr man sich einer der Ecken f, g oder d nähert, und dass sie in diesen Ecken selbst, wie aus der Figur leicht nachzuweisen ist, endlich in den Werth Null übergeht. Man hat also auch in dem Falle, in wel- - ehem, wie in Fig. 6, kein Wirbel in der Ecke d ent- steht, doch eine kleine, unbewegliche, nicht ausfliessende Flüssigkeitsmasse in derselben.

Die verschiedenen Bewegungen, welche die Flüssig- keitstheilchen im Innern des Gefässes annehmen können, bewirken ferner auch, dass der aus dem Gefässe heraus- tretende Flüssigkeitsstrabl verschiedene Gestalten anneh- men, und daher namentlich auch die Kontraktion ver- schiedene Werthe erhalten kann. In der That zeigt eine in grossem Massstabe ausgeführte Konstruktion sogleich, dass die Breite cc, des Strahles um so grösser wird, je grösser der Wirbel fg, und um so kleiner, je kleiner dieser Wirbel ist, und dass mithin der Kontrak- tionskoeflizient gleichzeitig mit dem Wirbel zu- und ab- nimmt. Dass dieses Verhältniss zwischen dem Kontrak- tionskoeffizienten und dem Wirbel bestehen muss, er- giebt sich schon aus folgender Betrachtung. Wird der Wirbel gross, so werden die neben ihm vorbeigleitenden Flüssigkeitstheilchen im Innern des Gefässes allmälig nach der Oeffnung hingelenkt, ähnlich wie wenn das Gefäss

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selbst nach der Oeffnung hin allmälig enger und enger würde. Hierdurch erhalten die Flüssigkeitstheilchen in dem Augenblicke, da sie vor der Oeffnung bb, ankom- men, schon nahezu die Richtung der mittleren Linie et, und bewirken daher bei ihrem Austritte nur eine kleine Kontraktion. Ist dagegen nur ein kleiner oder gar kein Wirbel vorhanden , so treffen die nahe über den Gefäss- boden hingleitenden Flüssigkeitstheilchen in beinahe senk- rechter Richtung zu et bei der Oeffnung ein, müssen bei ihrem Austritte viel stärker abgelenkt werden als im er- sten Falle, und veranlassen daher eine stärkere Kon- traktion. Dem grössten Wirbel entspricht daher auch der grösste, dem kleinsten der kleinste Kontraktions- koeffizient.

Die genauere Zeichnung ergiebt nun für die äusser- sten Fälle folgende Werthe der Kontraktionskoeffizienten,

. Wenn die Weite bb, der Oefinung kleiner als -

von der Weite aa, des Gefässes ist, so ist:

der grösste Kontraktionskoeff, — 0,679,

der kleinste Kontraktionskoeff. — 0,617. Wenn die Weite bb, der Oeffnung die Hälfte der Weite aa, des Gefässes beträgt, so ist:

der grösste Kontraktionskoeff, — 0,693,

der kleinste Kontraktionskoeff. — 0,645. Man sieht, dass die Unterschiede zwischen den Koeffi- zienten bei grossem Wirbel und ohne Wirbel zwar nicht gross, allein dennoch sehr entschieden sind. Es ist nun nöthig,, die Umstände anzuführen, von denen die Grösse der Wirbel und mit ihnen die der Koeffizienten abhän- gig ist. Zuvor muss jedoch das Wichtigste über die Na- tur der Wirbel selbst angeführt werden.

REN 5. Die Wirbel.

Die verschiedenen in den Flüssigkeiten entstehenden Wirbel haben das mit einander gemein, dass ihre Flüs- sigkeitsfäden ringförmige, geschlossene Figuren bilden; unterscheiden sich dagegen dadurch von einander, dass sich bei ihnen die Geschwindigkeit der Flüssigkeitstheil- chen vom Mitttelpunkte der Wirbel nach der Peripherie hin nach verschiedenen Gesetzen ändert. Es können Wir- bel entstehen, bei denen sich die in der Nähe des Mit- telpunktes befindlichen Theile am langsamsten und die übrigen in demselben Verhältnisse schneller bewegen, je weiter sie vom Mittelpunkte entfernt sind. Bei an- dern Wirbeln bewegen sich im Gegentheile die näher am Mittelpunkte liegenden Theile schneller als die in der Nähe der Peripherie befindlichen. Hatten z. B. die im Wirbel enthaltenen Flüssigkeitstheilchen,, bevor sie einen Wirbel bildeten, eine parallele und geradlinige Bewegung mit gleicher Geschwindigkeit, wie die durch die Nor- malfläche aa, fliessenden Theile, so wird sich die Ge-- schwindigkeit dieser Theilchen, nachdem sie durch irgend einen Umstand genöthigt worden sind einen Wirbel zu bilden, nach den gleichen Gesetzen richten, welche bei den bisher angestellten Betrachtungen stets als gültig an- genommen worden sind, Vermöge des Druckes, den die nahe beim Mittelpunkte liegenden Theilchen dieser Wir- bel durch ihre Zentrifugalkraft auf die näher bei der Peripherie liegenden ausüben, werden die letzteren eine um so kleinere Geschwindigkeit haben, je weiler sie vom Mittelpunkte entfernt sind. Denkt man sich, diese Wir- bel- haben, parallel mit ihrer Drehungsaxe gemessen, überall die gleiche Höhe, so müssen sich daher ihre Pro- jektionen,, die man auf eine zur Drehungsaxe senkrecht

stehenden Ebene bringen kann, durch Flüssigkeitsfäden und Normallinien ebenso in lauter unendlichkleine Quad- rate zerlegen lassen, wie die Projektionen der bisher be- trachteten bewegten Flüssigkeitsmassen.

Nur von den Wirbeln dieser letzten Art sollen hier “ einige der wichtigsten Eigenschaften in Kürze angedeu- tet werden.

Der Umfang dieser Wirbel kann jede beliebige viel- eckige oder geschlossene krummlinige Gestalt haben, so- bald unter den inneren Winkeln nur keine überstumpfen und unter den Biegungen keine solchen vorkommen, deren erhabene Seite nach innen gekehrt ist. Wollte man in einem geschlossenen haume, in welchem an einigen Stellen diese Bedingungen nicht erfüllt wären, einen sol- chen Wirbel hervorbringen, so würde an allen diesen Stellen ein zweiter oder selbst ein dritter Wirbel ent- stehen, dessen Umfang theilweise mit dem Umfange des Hauptwirbels zusammenfiele.

Wird ein solcher Wirbel auf einem Theile seines Umfanges nicht von festen Wänden, sondern von einer anderen bewegten flüssigen Masse begrenzt, wie der Wirbel fgd Fig. 5 längs dem Bogen fg, so treten fol- gende Verhältnisse ein.

Erstlich kann auf die Dauer die Geschwindigkeit des äussersten Flüssigkeitsfadens des Wirbels auf dem mit der anderen Flüssigkeitsmasse zusammenfallenden Theile fg des Umfanges nicht von der Geschwindigkeit dieser Flüssigkeitsmasse selbst verschieden sein, weil die gegen- seitige Reibung nach und nach eine Ausgleichung herbei- führt. Zerlegt man nun sowohl den Wirbel als die an- stossende Flüssigkeitsmasse in Bogenquadrate, so müssen daher die den Bogen fg berührenden Quadrate des Wir- bels gleich gross sein wie die an sie anstossenden Quad-

Tannen

rate der anderen flüssigen Masse. Zeichnet man sich nun die Stelle ofd mit dem Bogen fg in grösserem Mass- stabe, wie in Fig. 7, und nimmt der allgemeineren Be- handlung wegen an, of und fd bilden einen beliebigen

Fig. 7.

Winkel mit einander, so mögen hk und h,k, zwei un- endlich nahe bei fg, fd und fo liegende Flüssigkeitsfä- den des Wirbels und der ihn begrenzenden flüssigen Masse, und Iml,, non,, pfp, u. s. w. die sie durchschneidenden Normallinien bezeichnen. Alsdann muss nach dem Ge- sagten: Imon = I,mon,, nofp = n,0fp, u. s. w. sein. Damit aber die letzte Gleichung möglich sei, muss: <ofp=<ofp, sein. Da ferner die Bogenquadrate nf und gf, und ebenso die Bogenquadrate n,f und g,f, da sie unmittelbar an einander stossen, nur um unendlich wenig von einander verschieden sein dürfen, so kann man auch stets: < ofp= <pfq und < ofp, =< pjfs annehmen, woraus folgt, dass stets: < ofp=< ofs sein muss , oder dass die äussersten Flüssigkeitsfäden zweier in einem Punkte und mit gleicher Geschwindigkeit zu- sammenstossender Flüssigkeitsmassen sich nach dem Stosse

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gemeinschaftlich nach einer Richtung fg fortbewegen, welche den Winkel dfo, unter welchem der Zusammen- stoss erfolgte, genau halbirt.

Man sieht, dass man hier auf ein Gesetz gelangt, welches einem ähnlichen Gesetze für die Bewegung zweier zusammenstossender fester Körper durchaus analog ist.

Bildet ofd eine gerade Linie, wie es in Fig. 5 der Fall ist, so sind mithin < ofg = < dfg = 90°. Der Bogen fg des Wirbels schneidet daher, weit entfernt sich etwa nur allmälig den Gefässwänden zu nähern und in deren Richtung überzugehen, dieselben vielmehr in f und g rechtwinklig, und der äusserste Flüssigkeitsfaden des Wirbels bildet mithin an diesen beiden Stellen eine recht- winklige Ecke..

Hier muss nun bemerkt werden, dass dieser Satz auch dann gelten würde, wenn sich die im Inneren des Wirbels befindlichen Flüssigkeitsfäden nach einem ande- ren als dem bisher angenommenen Bewegungsgesetze rich- ten würden, weil sich die Betrachtungen, mittelst deren derselbe gewonnen wurde, nur auf die Eigenschaften des äussersten Flüssigkeitsfadens des Wirbels beziehen; von der innerhalb befindlichen Flüssigkeit aber unabhängig sind. Wenn die Bewegung der Flüssigkeit im Innern des Wirbels den bisher festgehaltenen Voraussetzungen nicht entspräche, so würde daher gleichwohl der Bogen fg des Wirbels die Gefässwände in f und g rechtwink- lig schneiden, und mithin seine Gestalt im Wesentlichen beibehalten müssen. Da nun ausserdem die Bewegung der inneren Flüssigkeitstheile nur noch auf die Grösse des Wirbels einen Einfluss ausüben könnte, diese Grösse aber auch unter den bisherigen Voraussetzungen zwischen Null und einem gewissen Maximum jeden Werth anneh- men kann, so würden also hierdurch die bisher gewon-

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nenen Ergebnisse nicht wesentlich geändert. Die Voraus- setzung, dass sich auch der Wirbel auf ähnliche Weise in Quadrate müsse zerlegen lassen wie die übrige Flüs- sigkeitsmasse, kann daher mit Bezug auf diese Ergeb- nisse als ziemlich genau angesehen werden.

Anders verhält es sich dagegen mit dem im Innern des Wirbels herrschenden Drucke. Dieser ist wesentlich von der Geschwindigkeit der inneren Flüssigkeitstheile abhängig, wesshalb mit Bezug auf denselben aus der bis- her angenommenen Konstruktionsart des Wirbels kein sicherer Schluss gezogen werden kann. Wäre dieselbe genau richtig, so würde sich der Druck der Flüssigkeits- theilchen auf einander gegen den Mittelpunkt des Wir- bels hin rasch vermindern, und in einiger Entfernung von demselben gleich Null werden müssen, so dass die Gefässwände an den, der Mitte des Wirbels gegenüber- liegenden Stellen, dem äusseren Luftdrucke durch ihre: Festigkeit widerstehen müssten.

6. Einfluss der absoluten Grösse der Ausfluss- öffnung und der Druckhöhe auf den Aus- fluss der Flüssigkeiten.

Nachdem nun die in den Nr. 4 und 5 ausgespro- chenen Ergebnisse gewonnen worden sind, muss entschie- den werden, durch welche Umstände die Grösse der Kon- traktion des ausfliessenden Flüssigkeitsstrahles, sowie die Grösse der in. den Gefässecken befindlichen Wirbel be- stimmt werde.

Um diese Entscheidung herbeizuführen erinnere man sich, dass die ganze ausfliessende Flüssigkeitsmasse afgsre, Fig. 5, als ein System von unendlich vielen unendlich kleinen festen Körperchen, die sich ohne Reibnng mit

und neben einander fortbewegen, und auf welche gewisse Kräfte einwirken, betrachtet werden kann. Diese Kör- perchen bewegen sich nicht regellos neben einander, sondern ordnen sich zu Flüssigkeitsfäden, von denen hier vorzüglich zwei Eigenschaften hervorgehoben werden müs- sen. Vorerst verändern sie nämlich , so lange die Wir- bel die gleiche Grösse behalten, ihre Gestalt und Lage nicht. Verändern sich aber die Wirbel, so ist diese Veränderung der Flüssigkeitsfäden nicht willkührlich, sondern so, dass jeder Faden für jede Grösse der Wir- bel eine durch die Zeichnung genau bestimmte Gestalt und Lage erhält. Betrachtet man nun die Flüssigkeits- fäden nur mit Rücksicht auf die Gestalt ihrer Oberfläche und die Pressungen, welche sie gegenseitig auf einander ausüben, so kann man daher jeden derselben als ein Sy- stem zusammenhängender fester Körperchen ansehen, die sich nicht bewegen, so lange die Wirbel unverändert die gleiche Grösse beibehalten; dagegen aber in einer solchen mechanischen Verbindung miteinander stehen, dass das ganze System bei einer Vergrösserung oder Verkleinerung der Wirbel stets die jeweilige Gestalt des Flüssigkeitsfadens annimmt , an dessen Stelle man es ge- setzt denkt. Die im Innern der Fäden bestehende Be- wegung der Flüssigkeitstheilchen gegen die Oeffnung hin braucht bei dieser Betrachtungsweise gar nicht mehr be- achtet zu werden.

Die zweite, hier hervorzuhebende Eigenschaft der Flüssigkeitsfäden besteht darin, dass sie theils vermöge des Gewichtes der einzelnen Flüssigkeitstheilchen, theils vermöge der durch ihre Bewegung an den gekrümmten Stellen entstehende Zentrifugalkraft gewisse Pressungen auf einander ausüben, die an verschiedenen Stellen ihrer

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Oberfläche im Allgemeinen verschieden sind. Denkt man sich statt der Flüssigkeitsfäden jene Systeme 'von zusam- menhängenden festen Körpern; so kann man durch ge- eignete äussere Kräfte, die man auf sie einwirken lässt, leicht auch diese gegenseiligen Pressungen hervorbringen.

Denkt man sich nun alle Flüssigkeitsfäden durch solche Systeme fester Körperchen ersetzt, auf welche die eben beschriebenen Kräfte wirken, so bilden sie zusam- mengenommen ein einziges System zusammenhängender fester Körperchen, dessen äussere Gestalt genau der der ausfliessenden Flüssigkeitsmasse ist, und in welchem die Endflächen der die Flüssigkeitsfäden ersetzenden Theile genau die gleichen Pressungen erleiden, wie jene Fäden selbst. Da nun aber dieses System fester Körper den gewöhnlichen Gleichgewichtsgesetzen unterworfen ist, so ist dies also auch bei der ausfliessenden Flüssigkeitsmasse mit Bezug auf die Gestalt und die gegenseitigen Pres- sungen der Flüssigkeitsfäden der Fall. Dieselben werden daher auch diejenige Gestalt unverändert beibehalten, bei welcher sich die zwischen ihnen herrschenden Pres- sungen das Gleichgewicht halten. Um zu erfahren wann diess der Fall sei, hat man die Grösse und Richtung dieser Pressungen für eine gewisse Grösse der Wirbel aufzusuchen, dann den Wirbel um eine unendlichkleine Grösse zu verändern, die virtuellen Momente auszurech- nen, welche während der gleichzeitigen Veränderungen sämmtlicher Flüssigkeitsfäden jene Pressungen ausüben, und die Summe dieser Momente gleich Null zu setzen. Die Wirbel, und mit ihuen die Kontraktion, werden nun diejenige bleibende Grösse annehmen, bei welcher diese Gleichung erfüllt ist.

(Fertsetzung folgt.)

MITTHEILUNGEN

NATURFORSCHENDEN GESELLSCHAFT IN ZÜRICH. N go. ae LE LEN 1853.

Prof. Deschwanden. — Grapbische Bestimmung des Ausflusses der Flüssigkeiten durch recht- eckige Oeffnungen, und bei zweiseitiger Kontraktion.

(Fortsetzung.)

Es soll nun hier keineswegs versucht werden eine solche Rechnung auch nur angenähert durchzuführen; dagegen ist es nöthig einige Eigenschaften hervorzubeben, welche das Ergebniss einer solchen Rechnung, wie vor- auszusehen, haben müsste.

Man betrachte zu diesem Zwecke zuerst die Kräfte welche auf einen einzelnen, etwa auf den Flüssigkeitsfaden Iml’m‘’ wirken, sowie die virtuellen Momente derselben bei einer Verkleinerung des Wirbels.

Ist die mittlere Geschwindigkeit der ausfliessenden Flüssigkeit bei Imm‘l‘ gieich v‘, die Tiefe dieser Stelle unter aa, gleich h‘, die Geschwindigkeit bei aa, gleich v, und wird der äussere Luftdruck auf diese Fläche, da er auch auf die übrigen Grenzllächen der Flüssigkeit wirkt und sich gegenseitig aufhebt, vernachlässigt, so ist der mittlere Druck p‘ auf eine Flächeneinheit bei Im m‘l’:

p’ = {ir _ a u Band 111. 2

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Ist ferner die Druckhöhe, oder die Entfernung des Punk- tes b von aa, gleich H, mithin die Geschwindigkeit bei b nahe gleich Y2gH, und setzt man: v, = aY2gH, v' = ßY2gH, wo « und ß gleich den Verhältnisszahlen einer Seite der bei b und einer Seite der bei aa, und Im lie- genden Quadrätchen bezeichnen, so hat man auch: p‘ = s(h‘ — (82 — adH). Diese im Innern von Imm/‘l‘ herrschende Pressung sucht die beiden Flächen Im und !’m‘ von einander zu entfer- nen, und übt mithin stets ein positives virtuelles Mo- ment aus, wenn Im und !’m‘ sich von einander entfer- nen, dagegen aber ein negatives, wenn sie sich nähern. Das erste ist bei einer Verkleinerung, das zweite bei ei- ner Vergrösserung des Wirbels der Fall. Ausserdem wirkt auf die Flüssigkeitsmasse Imm‘l’ noch die Zentri- fugalkraft: v2 ki —Zg wo g’ und r‘ das Gewicht der Maasse Imm‘l‘ und den mittleren Krümmungshalbmesser derselben bezeichnen , oder: kus=,syHl, j wo y ein von H unabhängiger Koeffizient ist. Diese Kraft übt ein positives virtuelles Moment aus, wenn sich die ganze Masse Imm‘l’ der Ecke d nähert, also eben- falls bei einer Verkleinerung des Wirbels, ein negatives dagegen bei einer Vergrösserung desselben.

Das virtuelle Moment aller auf Imm‘l‘ wirkenden Kräfte-ist daher bei einer Verkleinerung des Wirbels proportional mit dem Ausdrucke:

1) s(h‘ — (#2 -— @ — y)H). Dieser Ausdruck ist aber zugleich auch der Summe der vir- tuellen Momente der auf alle Flüssigkeitsfäden wirkenden

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Kräfte proportional, wenn man für h‘ einen Mittelwerth der Grösse h‘ aller derjenigen Stellen einführt, welehe bei einer kleinen Veränderung des Wirbels auch noch eine merkliche Veränderung in ihrer Lage erleiden. Dieser Mittelwerth mag etwa der dem Punkte z zukommende Werth von h‘ oder die senkrechte Entfernung des Punk- tes z von aa, sein. Da ferner der Ausdruck 1 bei ei- ner Verkleinerung des Wirbels positiv, bei einer Ver- grösserung desselben negativ ist, so suchen die Kräfte, auf die er sich bezieht, den Wirbel zusammenzudrücken.

Von den auf die Oberfläche teafgb wirkenden Pres- sungen übt nur der auf den Bogen fg wirkende Druck bei einer Veränderung des Wirbels ein virtuelles Moment aus, weil nur dieser Theil der Oberfläche sich bewegt. Liegt die Mitte des Bogens fg und h unter aa,, so ist der auf fg wirkende Druck angenähert proportional mit:

| 2) sch (®— H wo ö das Verhältniss einer Seite der bei b zu einer Seite der in der Mitte des Bogens fg liegenden Quadrätchen bezeichnet.

Das virtuelle Moment, welches dieser Grösse pro- portional ist, ist bei jeder Verkleinerung des Wirbels negativ, bei jeder Vergrösserung positiv. Die Kräfte, auf die es sich bezieht, suchen daher den Wirbel zu vergrössern.

Soll der Wirbel fgd seine Grösse unveränderlich beibehalten, so muss daher das dem Ausdrucke 1 pro- portionale Moment die gleiche absolute Grösse haben wie dasjenige, welches dem Ausdrucke 2 proportional ist; oder, was dasselbe ist: das Moment 1 derjenigen Kräfte, welche den Wirbel zusammenzudrücken suchen, muss gleich dem Momente 2 der Kräfte sein, die ihn auszudehnen streben.

Hieraus ergiebt sich nun mit Leichtigkeit der Ein- fluss der Druckhöhe und der Weite der Oeffnung auf die Grösse des Wirbels und der Kontraktion. Die Grös- sen @, ß, y, ö sind im Vergleich mit h‘ und h sehr klein. Ferners ist h‘ kleiner als h, indem der Punkt z stets näher bei aa’ liegt als die Mitte des Bogens fg. Wird nun aa, um irgend eine Grösse, z. B. um ZH, erhöht, so muss in den Ausdrücken 1 und 2b’ + ZH und h + ZH statt h‘ und h gesetzt werden. Dadurch nimmt aber der Ausdruck 1 in grösserem ‚Verhältnisse zu als der Ausdruck 2, weil h‘ kleiner ist als h; es ge- winnen also die Kräfte, welche den Wirbel zusammen- zudrücken suchen, das Uebergewicht, und daher wird der Wirbel und zugleich auch der Kontraktionskoeffizient des ausfliessenden Strahles verkleinert. Fällt aa, tiefer hinunter, so geschieht das Gegentheil, der Wirbel und der Kontraktionskoeffizient vergrössern sich. Für grosse Druckhöben wird also der Kontraktionskoefüzient kleiner, weil dann die Wirbel in den Ecken durch das Gewicht der Flüssigkeitsmasse mehr zusammengedrückt, und die ausfliessenden Flüssigkeitstheile mehr in die Ecken hin- eingedrängt und mithin mehr von ihrem geraden Wege abgelenkt werden; bei kleinen Druckhöhen werden sie dagegen etwas grösser, weil die Wirbel ein verhältniss- mässig kleineres Gewicht zu tragen haben, sich daher vergrössern und die ausfliessenden Flüssigkeitstheilchen aus den Ecken des Gefässes gegen die Mitte desselben und in eine mehr geradlinige, mit dem mittleren Faden ‘et parallele Bahn drängen. Im ersten Falle bildet daher die mittlere Richtung der von den Seiten her in die Aus- flussöffuung eintretenden Flüssigkeitstheile einen grösse- ren Winkel mit der Mittellinie des Strahles, dieselben müssen mehr abgelenkt werden und veranlassen daher

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eine stärkere Kontraktion; im zweiten Falle bildet jene mittlere Richtung einen kleineren Winkel mit der Mit- tellinie et, es ist beim Austritt eine kleinere Ablenkung nöthig und erfolgt daher eine geringere Kontraktion.

Dies Alles darf nur nicht auf Druckhöhen angewen- det werden, die im Verhältniss zur Weite der Oeffnung und des Gefässes ziemlich klein sind. Ist z. B. H klei- ner als 4.bb,, so richten sich die austretenden Flüssig- keitsfäden nach 'andern Gesetzen, und das eben Gesagle gilt dann nicht mehr.

Die absolute Grösse bb, der Ausflussöffnung übt nicht durch die Grösse irgend einer Pressung, die von ihr abhängig wäre, sondern auf ganz andere Weise ei- nen Einfluss auf die Grösse der Wirbel und der Kon- traktion aus. In dem Ausdrucke 1 sind nämlich auch die Pressüngen der Zentrifugalkräfte enthalten, welche die Flüssigkeitstheilchen in der Gegend von bb, wegen der starken Krümmungen ausüben, die hier vorkommen. Das virtuelle Moment dieser Pressungen ist aber bei ei- ner kleinen Veränderung der Wirbel um so grösser, je grösser nicht nur die Pressungen selbst, sondern auch die Bewegungen ihrer Angriffspunkte sind. Nun entfer- nen sich die Flüssigkeitsfäden bei be von der Mitte des Strahles jedesmal, wenn sich die Wirbel vergrössern, und die Pressungen der Zentrifugalkräfte üben alsdann ein negatives virtuelles Moment aus; die Fäden nähern

-sich dagegen der Mitte und die Zentrifugalkräfte üben ein posilives Moment aus, wenn sich die Wirbel ver- kleinern ; und diese Entfernungen oder Näherungen sind unter sonst gleichen Umständen proportional mit der Grösse bb, oder der Weite der Ausflussöffnung, indem die austretenden Flüssigkeitsstrahlen bei kleinen und gros- sen Oeffnungen genau oder nahezu geometrisch ähnliche

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Figuren sind. Ist die Oeffnung gross, so üben daher die Zentrifugalkräfte bei bb, ein grosses, ist sie klein, .so üben sie ein kleines virtuelles Moment und zwar in dem Sinne aus, dass sie die Wirbel zusammenzudrücken und mithin den Kontraktionskoeffizient zu verkleinern suchen. Da endlich die Flüssigkeitsfäden an den übri- gen Stellen des Gefässes bei kleineren und grösseren Oeffnungen sehr nahe die gleiche Gestalt behalten, so lange wenigstens die Oeffnung im Verhältniss zur Weite des Gefässes klein ist, so verändern sich auch die Pres- sungen der Flüssigkeitsfäden und die Momente derselben bei einer Veränderung der Oeffnung an keiner anderen Stelle wesentlich als bei bb,. Sowie die Oeffnung grös- ser wird, nehmen daher die Momente der Kräfte, welche die Wirbel zusammenzudrücken suchen, zu, die Wir- bel selbst und hiermit auch die Kontraktionskoeffizienten werden verkleinert; wird dagegen die Oeffnung kleiner, so nehmen die virtuellen Momente der Kräfte, welche die Wirbel zusammenzupressen suchen, ab, die Wirbel dehnen sich mehr aus, der Strahl kontrabirt sich we- niger und der Kontraktionskoeffizient wird daher grösser. Diese Unterschiede in den Kontraktionskoeffizienten wer- den freilich nicht bedeutend sein können, da auch die bei bb, wirkenden Kräfte nur einen kleinen Theil aller derjenigen Kräfte ausmachen, welche auf die Grösse der Wirbel und der Kontraktion einen Einfluss ausüben.

Diese Ergebnisse stimmen bekanntlich mit den durch die Erfahrung gewonnenen überein, was ein Blick auf die von Poncelet und Lesbros entworfene Tafel der Kon- traktionskoeffizienten bestätigt.

Es kann daher, mit Rücksicht auf die in Nr. 4 an- gegebenen Grenzen der Kontraktionskoeffizienten für Oeff- nungen, deren Weite kleiner als 1/, der Gefässweite ist,

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zufolge den eben angestellten Betrachtungen, nun der Satz aufgestellt werden: bei grossen Druckhöhen und kleinen Oeffnungen werden die Kontraktionskoeffizienten kleiner und können bis auf 0,617 heruntersinken; bei kleinen Druckhöhen nnd kleinen Oeffnungen werden sie dagegen grösser, und können bis auf 0,679 hinaufstei- gen. Welcher zwischen diesen Grenzen liegende Koef- fizient aber einer bestimmten gegebenen Druckhöhe und Oeffnung entspreche, kann aus den oben angestellten Betrachtungen nicht entnommen werden.

Ausser der Druckhöhe und der Grösse der Ausfluss- öffnung giebt es noch einige Umstände, welche einen kleinen Einfluss auf den Kontraktionskoeffizienten aus- üben.

Wenn der äussere Druck, der auf den ausfliessen- den Strahl einwirkt, grösser oder kleiner ist als der auf den Flüssigkeitsspiegel aa, wirkende Druck, so wird im ersten Falle die Summe der den Wirbel zusammenpres- senden virtuellen Momente vermehrt, im zweiten Falle vermindert; im ersten Falle müsste daher eine kleine Verminderung, im zweiten eine kleine Vergrösserung des Kontraktionskoeffizienten erfolgen. Eine Verminderung des Koeffizienten muss daher eintreten, wenn z. B. die Flüssigkeit nicht in die freie -Luft, sondern unter einem anderen Flüssigkeitsspiegel, eine Vermehrung dagegen, wenn sie in einem luftverdünnten Raume ausfliessen würde. Das erste haben die Erfahrungen von Weisbach bestätigt.

Ferner kann der Kontraktionskoeffizient nicht ganz unabhängig von der Länge bs des austretenden Flüssig- keitsstrahles sein. Wäre er sehr kurz, so würde die in seiner unlern Hälfte wirkende Zentrifugalkraft, welche Strahl und Wirbel zusammenzudrücken sucht, wegfallen, und der Kontraktionskoeffizient müsste sich daher etwas

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vergrössern. Da übrigens hierbei auch die Art, wie der Strahl aufgefangen würde, einen gewissen Einfluss aus- üben müsste, so könnte hierüber nur durch umständ- lichere Betrachtungen ein reines Ergebniss erhalten werden.

7. Ausfluss aus Oeffnungen, welche an einer beliebigen Stelle des Gefässbodens oder in einer Seitenwand sind.

Die Verzeichnungsart der Flüssigkeitsfäden stützt sich in diesen Fällen auf die ganz gleichen Grundsätze wie in den früher behandelten Fällen, und soil daher auch nicht mehr näher beschrieben werden. Dagegen sollen die wichtigsten Ergebnisse jener Verzeichnung kurz zusammengestellt werden.

Wenn die Oeffnung im Boden des Gefässes bleibt , aber näher bei der einen als bei der anderen Seitenwand liegt, so verliert die ganze ausfliessende Masse ihre sy- metrische Gestalt. Die in den Ecken befindlichen Wir- bel erhalten eine ungleiche Grösse, der austretende Flüs- sigkeitsstrahl ist auf der Seite, welche der, näher bei der Oeffnung liegenden, Seitenwand gegenübersteht, we- niger stark kontrahirt als auf der entgegengesetzten Seite, und der mittlere Flüssigkeitsfaden ist nach seinem Aus- tritte aus der Oeflnung nicht mehr senkrecht zur Ebene des Gefässbodens gerichtet, sondern neigt sich etwas ge- gen diejenige der beiden Seitenwände, welche näher bei der Oeffnung liegt. Alle diese Abweichungen von der symeirischen Gestalt werden um so grösser,